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邵井海，系天津大学应用数学中心教授

一、引言：从确定性模型到随机环境切换的范式演进

数学模型的演进遵循从理想化假设向逼近现实复杂性发展的路径。20 世纪 20 年代，Lotka 和 Volterra 提出的种群竞争模型奠定生物数学基础，该确定性模型将参数设定为常数，理论推导具有封闭性和完备性，但静态参数设定难以应对现实世界的不确定性。

早期尝试引入时间变量使参数成为确定性函数，仍无法捕捉系统内随机波动。随着随机分析理论发展，研究者引入白噪声模拟环境随机扰动，将常微分方程拓展为随机微分方程，参数分解为平均趋势与随机涨落两部分，系统解可在无界空间游走，现代概率论与随机分析成为解析系统行为的核心工具。

然而，白噪声仅能刻画连续、小幅的微观扰动，无法描述生态系统旱季与雨季交替、金融市场牛市与熊市轮动等剧烈的宏观环境突变。因此，在随机微分方程基础上引入马尔可夫链，构建带切换的扩散过程模型，结合连续扩散运动与离散马尔可夫跳跃，为研究复杂系统在多重随机环境下的长时行为、稳定性及遍历性提供了更精确的数学框架。

二、带切换扩散过程的建模机制与应用领域

（一）生物学与金融学的模型重构

为捕捉环境定性变化对系统的影响，将模型参数设定为依赖于离散事件过程的函数，引入取值于有限状态空间的连续时间马尔可夫链，不同状态代表不同环境背景。在生物种群模型中，状态对应不同生存环境，物种内禀增长率随马尔可夫链状态跳跃而变化；在金融数学领域，带切换的几何布朗运动模型中，期望回报率和波动率成为依赖于市场状态的随机变量，系统长时行为取决于各状态下增长因子的加权平均值，权重为马尔可夫链的平稳分布。

（二）数学结构的复杂性挑战

带切换扩散过程的无穷小生成元呈现混合结构，包括对应连续扩散行为的二阶微分算子和对应离散状态跳跃的差分算子，求解相关方程需面对相互耦合的微分方程组，不同状态下的未知函数通过转移速率矩阵紧密纠缠，经典偏微分方程理论的诸多方法失效。在状态依赖情形下，马尔可夫链的转移矩阵成为状态变量的函数，双向耦合使连续轨道与离散跳跃相互作用异常复杂，对理论推导和数值计算提出极高要求。

三、随机环境下的系统长时行为：常返性与稳定性判定

（一）常返性的物理意义与直观矛盾

常返性描述系统轨迹是否会无限次返回某一特定有界区域，在统计推断中具有重要应用价值，只有系统常返且存在平稳分布（遍历性），才能通过长时间观测数据准确估计模型参数。引入环境切换后，系统常返性表现出反直观特征：即便单一环境状态下系统是常返的，随机交替出现时整个系统可能变得非常返；反之，两个本身不稳定的系统，通过特定随机切换机制可能表现出宏观稳定性。这警示不能简单通过单一环境下子系统性质推断整体系统稳定性，需将切换机制作为内生变量纳入分析框架。

（二）稳定性判据的构建：从 M - 矩阵到混合 Lyapunov 指数

为克服直观判断局限，需建立严格定量判据。早期研究试图寻找适用于所有环境状态的共同 Lyapunov 函数，在处理非线性系统时面临构造困难。本研究提出的准则通过构造两个辅助函数，提取每个环境状态的特征指数 βi，其正负代表环境对系统的稳定或破坏作用，系统最终命运取决于特征指数在长时间尺度上的加权平均效果，权重为马尔可夫链的平稳分布。判别准则表明，加权平均值小于 0 时系统常返甚至强遍历，大于 0 时可能走向灭绝或发散。该准则还将稳定性分析转化为对 M - 矩阵的代数性质研究，为生物学和金融学相关问题提供了可计算的数学工具。

四、分布特征的异质性与模型误差控制

（一）切换环境对平衡分布尾部特征的重塑

在金融数学与风险管理中，随机过程的平衡分布尾部特征具有决定性意义。标准 CIR 利率模型的平衡分布通常表现为轻尾特征，极端事件发生概率指数级衰减。引入环境切换机制后，平衡分布形态发生本质重塑，系统整体性质并非各子系统性质的简单平均。只要存在任意一个环境状态导致子系统呈现重尾分布，无论其他环境状态多么稳定、系统在该不稳定状态停留时间多么短暂，整个系统的平衡分布都将呈现重尾特征，这揭示了极端风险概率远高于传统高斯模型预测，是单一模型难以捕捉的系统性风险来源。

（二）模型参数估计的误差传播与控制

从理论模型走向实际应用，参数估计误差是一大挑战。带切换扩散过程的核心参数（马尔可夫链的转移速率矩阵 Q 矩阵）需通过历史数据统计推断，不可避免存在误差。利用 Wasserstein 距离量化真实过程与近似过程之间的偏离程度，建立的理论框架证明，在满足一定耗散性条件下，两者分布之间的 Wasserstein 距离可被两个 Q 矩阵之间的差异范数控制，保证模型鲁棒性。此外，研究还给出了状态截断近似下的误差上界，证明忽略部分低概率状态时，简化模型的分布仍可有效逼近原始高维模型的分布，为复杂系统模拟提供了理论依据。

五、结论

本报告系统阐述了带切换扩散过程在刻画复杂动态系统时的独特优势及数学理论架构。带切换模型突破传统扩散过程参数恒定的桎梏，将定性状态突变内生化，为生物种群灭绝风险评估和金融资产长时行为预测提供了更贴近现实的解释框架，揭示了系统宏观稳定性与微观状态之间的非线性关联。

理论贡献方面，建立的基于共同 Lyapunov 函数与 M - 矩阵的稳定性判据，解决了随机环境切换引发的稳定性悖论；关于平衡分布尾部特征的研究揭示了环境切换的风险放大效应；基于 Wasserstein 距离的误差控制理论，证明了模型在分布层面的连续性与鲁棒性。

展望未来，带切换扩散过程的研究面临新机遇与挑战，更高维度状态空间中非线性、状态依赖型切换的处理，以及将理论误差界与实际观测数据结合开发高效算法，是该领域亟待攻克的难题和推动理论走向实践的关键。对随机环境切换机制的深入理解，将持续深化对复杂系统在不确定性条件下演化规律的认知。

邵井海：带切换扩散过程的遍历性、稳定性及长时行为研究